А.Б. Шабат — доктор физико-математических наук, профессор, автор более 120 научных работ, Лауреат Государственной премии РФ в области науки и техники. Научная деятельность А.Б.Шабата посвящена общей теории интегрируемых систем и её приложениям. А.Б.Шабатом развита теория интегрирования нелинейных уравнений математической физики, под его руководством начаты исследования по созданию теории солитонов.
II полугодие 2018-2019 учебного года
7.02 Семинар памяти Р.Миуры (семинар проводился совместно с доктором физико-математических наук Р.Ч. Кулаевым, Северо-Осетинский государственный университет).
С именем Р. Миуры связано преобразование (дифференциальная подстановка), объединяющее пару уравнений в частных производных, обладающих решениями типа уединённой волны, называемых солитонами. Особенность этих волн заключается в том, что при взаимодействии они сохраняют индивидуальность и моделируют частицеподобные решения. Связь между решениями этих уравнений, вообще говоря, необратима и носит односторонний характер. Роберт М. Миура в 1967 г. показал, что для уравнения КдФ задача построения дифференциальной подстановки является корректной.
Несмотря на то, что преобразование (0.1) само по себе не упрощает решение уравнения Кортевега-де Фриза, поскольку связывает решения двух нелинейных уравнений, тем не менее, именно это преобразование стало ключом к открытию метода обратной задачи рассеяния и развитию симметрийного подхода к проблеме интегрируемости.
I полугодие 2018-2019 учебного года
21.09 Теория рассеивания, уравнение Кортевега (докладчик Кулаев Руслан)
28.09 Уравнение Риккати (докладчик Артисевич А.Е.)
Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.
Будут рассмотрены обратимые замены переменных применимые к общему уравнению Риккати, не нарушающие его структуру, приводящие уравнения к более простому виду.
12.10 Аналитические продолжения (докладчик Шабат А.Б.)
19.10 Вронскиан (докладчик Аллахвердян Алина)
26.10 Уравнение Бесселя (докладчик Панеш А.А.)
Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида y^»+xy^’+(x^2-v^2 )y=0 называется уравнением Бесселя. Число называется порядком уравнения Бесселя.
Данное дифференциальное уравнение было названо в честь немецкого математика и астронома Фридриха Вильгельма Бесселя, который подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.
На семинаре будет рассмотрено решение уравнения Бесселя в случаях, когда:
2.11 Матричная экспонента (докладчик Еремина Алина )
Будут рассмотрена матричная запись линейных систем дифференциальных уравнений. Методом итераций будет получено решение, представляющее собой сходящийся матричный ряд. А так же рассмотрен случай произвольной дифференцируемой матрично-значной функции с ненулевым определителем.
9.11 Числа Каталана (докладчик Панеш А.А.)
Числа Каталана — числовая последовательность, встречающаяся в удивительном числе комбинаторных задач. Эта последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана (Catalan), жившего в 19 веке.
Числа Каталана встречаются в большом количестве задач комбинаторики. На семинаре будет рассмотрена задача о нахождении количества способов полностью разделить скобками n+1 множитель (n-ое число Каталана).
16.11 Симметрические многочлены (докладчик Прозорова Надежда)
Симметрический многочлен – многочлен от n переменных при всех перестановках входящих в него переменных . Будет рассмотрено представление симметрических многочленов через элементарные симметрические многочлены и производящие функции.
23.11 Эллиптические функции (докладчик Лобода Н.А.)
Существуют разные способы определения эллиптических функций. На семинаре будут рассмотрены эллиптические функции как решения системы дифференциальных уравнений где {y1^’=y2*y3, y2^’=-y1*y3, y3^’=-k^2*y2*y1. где 0 < k < 1.
Все основные свойства эллиптических функций будут получены непосредственно из данной системы.
