С 11 по 17 октября Александр Александрович Гайфуллин доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН провел ряд лекций и семинаров в Адыгейском государственном университете.

«Кватернионы, вращения пространства и правильные многогранники»

11 октября 16:30, ауд. 323б

Во многих задачах математики и её приложений очень полезно и совершенно неизбежно использование комплексных чисел – естественного обобщения обычных действительных чисел, получающихся из них при помощи специальной операции присоединения корня из -1. В 1843 ирландский математик и физик Уильям Роуэн Гамильтон обнаружил, что если повторить ту же операцию ещё раз, применив её к комплексным числам, то получится ещё один совершенно замечательный класс чисел, которые теперь называются кватернионами. В отличие от действительных и комплексных чисел, для кватернионов отсутствует свойство коммутативности, то есть произведение ab вообще говоря не равно ba. Эта особенность приводит к интересным и красивым как алгебраическим, так и геометрическим свойствам. Например, на языке кватернионов очень удобно описывать сохраняющие ориентацию движения (вращения) трёхмерного пространства. На лекции обсуждалось это описание и демонстрировалось, что его можно использовать для того, чтобы понять что-то не только о трёхмерных, но и о четырёхмерных геометрических объектах, в частности о четырёхмерных правильных многогранниках.

От слушателей не предполагалось знакомства ни с комплексными числами, ни с понятием четырёхмерного пространства.
 

«Инверсии, проективные преобразования и геометрия Лобачевского»

12 октября 16:30, ауд. 323б

Инверсии и проективные преобразования — два вида геометрических преобразований плоскости, которые довольно часто используются при решении олимпиадных задач по геометрии. Хотя, на первый взгляд, между этими двумя видами преобразований довольно мало общего, в действительности, они связаны между собой гораздо более тесно, чем кажется. Во-первых, в некотором смысле инверсия — это комплексный аналог проективного преобразования. Во-вторых, оказывается, что если мы нарисуем на плоскости окружность, то имеется очень важное соответствие между проективными преобразованиями и инверсиями (точнее, композициями нескольких инверсий), оставляющими эту окружность на месте. Это соответствие играет ключевую роль для установления связи между двумя знаменитыми моделями плоскости Лобачевского: моделью Бельтрами-Клейна и моделью Пуанкаре.

От слушателей не предполагалось знакомства ни с понятиями инверсии и проективного преобразования, ни с геометрией Лобачевского.

Математическая гостиная

«Изгибаемые многогранники»

15 октября 9:30, актовый зал АГУ

Рассмотрим шарнирный механизм на плоскости в виде замкнутой ломаной с твёрдыми стержнями в качестве рёбер и шарнирами в вершинах. Хорошо известно (третий признак равенства треугольников), что если ломаная состоит из трёх рёбер, то такой шарнирный механизм будет жёсткой (неизгибаемой) конструкцией. А если рёбер больше трёх, то механизм, как правило, будет допускать изгибания.

Теперь рассмотрим модель многогранника, грани которой — жёсткие пластины, а в рёбрах — шарниры типа «рояльных петель», позволяющие изменять произвольным образом двугранные углы между соседними гранями. Эквивалентно, можно рассмотреть модель многогранника, склеенную из твёрдого картона, со сгибами вдоль рёбер. Будет ли такой многогранник жёсткой конструкцией? Оказывается, почти всегда, да. Ещё в начале 19-го века О. Коши доказал, что выпуклые многогранники никогда не бывают изгибаемыми. Тем не менее, оказалось, что невыпуклые изгибаемые многогранники существуют, хотя их весьма непросто найти: первый пример изгибаемого многогранника был построен Р. Коннелли только в 1977 году. Изгибаемые многогранники обладают рядом удивительных свойств. Наиболее интригующим результатом о них стало доказательство И.Х. Сабитовым (1996) так называемой гипотезы о кузнечных мехах, утверждающей, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания.

На лекции обсуждались идеи, лежащие в основе всех этих результатов, а также современные достижения и открытые вопросы в этой области. Замечательной особенностью теории изгибаемых многогранников является то, что хотя все основные задачи формулируются на элементарном геометрическом языке, решение многих из них использует глубокие связи с самыми разнообразными областями современной математики, такими как теория эллиптических функций, теория нормирований полей, комбинаторная топология, алгебраическая геометрия и комплексный анализ.
 

«Равносоставленные многогранники»

16 октября 16:30

Классическая теорема Бойаи–Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед.
Позже задача о равносоставленности многогранников была включена Давидом Гильбертом в его знаменитый список проблем под номером три. Забавный факт заключается в том, что к этому моменту задача была уже решена его учеником Максом Деном (о чём Гильберт не знал). Ден построил серию инвариантов равносоставленности; в настоящее время их называют инвариантами Дена. Они связаны с замечательным алгебраическим объектом — аддитивными функциями. После этого Ден показал, что, например, куб и правильный тетраэдр равного объёма неравносоставлены, так как их инварианты различны.

Теорема Жана-Пьера Сидлера (1965) утверждает, что равенство объёмов и инвариантов Дена двух трёхмерных многогранников — не только необходимое, но и достаточное условие их равносоставленности.

На лекции обсуждались доказательство теоремы Бойаи–Гервина, инварианты Дена и идеи, лежащие в основе доказательства теоремы Сидлера.

«Изгибаемые многогранники и связанные с ними задачи» (Лекция и семинар)

17 октября 14:45-16:20, 16:30-18:05

Обсуждались следующие темы:

1) Примеры изгибаемых многогранников с небольшим количеством вершин.
2) Многомерные изгибаемые многогранники и их параметризации. Вопрос о существовании несамопересекающихся многомерных изгибаемых многогранников.
3) Гипотеза о кузнечных мехах в многомерных пространствах и неевклидовых пространствах.
4) Сильная гипотеза о кузнечных мехах — задача о равносоставленности изгибаемых многогранников.
5) Определители Кэли-Менгера. Соотношения на наборы расстояний между точками в пространстве.